你解决了吗?你比英国的青少年聪明吗?

2021-04-20 00:00

今天早些时候,我给大家设置了以下两个谜题。第一个来自英国女子数学奥林匹克运动会:

粉刷房屋

一排100间房子中的每一间都要漆成白色或黄色。居民们很挑剔,要求附近的三栋房子颜色都不一样。

(a) 解释为什么不超过67间房子可以漆成黄色。

(b) 如果房子被漆成黄色,有多少种不同的方式可以被漆成黄色?

解决方案

(a) 让我们把这些房子从左到右编号为1到100。把街道分成一栋房子(1号)和33个街区的三个相邻的房子:(2,3,4),(5,6,7)。, (95, 96, 97), (98, 99, 100).

因为没有三个相邻的房子可以都是相同的颜色,所以对于三个相邻的房子的每个街区,必须有最多两个黄色的房子。因此,黄色房屋的最大数量是33组3人中的每一组2个,第一组额外增加一个。i、 最多e(2× 33)+1=67房子可以漆成黄色。

注意:有可能把67栋房子漆成黄色。实现这一点的一种颜色是Y,然后是33块Y。

(b) 如果67栋房子被漆成黄色,那么对于所有33组相邻的三栋房子,两栋房子必须是黄色的。换言之,它们必须以以下三种方式之一进行绘制:

  • YYY年

  • YYY年

  • WYY

请注意,第二种颜色不能先于第一种颜色,第三种颜色不能先于第一种或第二种颜色。(因为否则你会得到两个以上的黄色房子在一排)。这意味着,一旦我们为三栋房子的其中一栋选择了第三种颜色(WYY),那么所有连续的街区都必须有WYY颜色。

现在让我们开始画画吧!第一栋房子必须漆成Y形,如(a)部分所示,因此三栋房子中的第一栋可以漆成Y形或Y形。

如果这个街区是WYY,那么我们知道一直到街的尽头都是WYY。但是如果这个块是YWY,那么下一个块的选择就是YWY或WYY。同样,如果这个块是WYY,那么我们知道它一直是WYY,但是如果是yyy,我们可以选择下一个块。

所以,我们唯一的选择就是什么时候先把附近的三栋房子漆成灰色。这可能在三栋房子的33个街区中的任何一个,也可能没有。因此,如果要把这100栋房子漆成黄色,有34种不同的方法。

第二道(更难的)题是上周的欧洲女子数学奥林匹克竞赛。

范数

2021这个数字太棒了。对于任意正整数m,如果集合{m,2m+1,3m}中的任意元素是fantable的,则所有元素都是fantable的。那么2021年的数字2021是不是太棒了?

如果你想阅读答案,这里有奥林匹克官方网站的链接解决方案。他们提供三种不同的方法来获得答案。

我每两个星期一就在这里做一个谜题。我总是在寻找伟大的谜题。如果你想推荐一个,发邮件给我。

我是几本谜题书的作者,最近的一本是语言爱好者的益智书。

感谢brilliant UK Mathematics Trust,该基金通过全国性竞赛和其他资源在英国学校推广数学’这是个难题。你可以在这个网页上找到更多关于英国数学奥林匹克运动会和女子数学奥林匹克运动会的信息。

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